Aplicación del álgebra matricial para la solución de sistemas de ecuaciones lineales

 

Matriz

Es una tabla cuadrada o rectangular de datos ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. 

Tipos de matrices

Matriz triangular superior: Ceros por debajo de la diagonal principal.

Matriz triangular inferior: ceros por encima de la diagonal principal.

Matriz simétrica: hay ceros por encima y por debajo de la diagonal principal.

Matriz identidad o nula: Todo en ceros.

Matriz Escalar: Es cuando los elementos que están dentro de la diagonal principal son iguales.

Matriz diagonal: Elementos por fuera de la diagonal principal son ceros.

Matriz Traspuesta: es cuando se cambian el orden de las filas por las columnas.

Matriz Cuadrada: es simétrica si es igual a su traspuesta

Matriz ampliada o aumentada: es cuando a una matriz se le adiciona una columna de términos independiente.

Matriz inversa: es inversa siempre y cuando el determinante no sea cero.

 

Operaciones elementales dentro de una matriz

Se llama operación elemental realizada en una matriz a cualquiera de las transformaciones siguientes:

      Cambiar entre si dos filas de la matriz.

      Multiplicar una fila por un escalar distinto de cero.

      Sumar a una fila otra fila multiplicada por un número real.

 

 

 

 

Determinante de una matriz

El determinante de una matriz siempre es un número real y únicamente lo podremos calcular para matrices cuadradas. 

 

Regla de Cramer

Es un teorema del álgebra lineal que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Un sistema de ecuaciones lineales se dice de Cramer cuando cumple las siguientes condiciones:

Es un sistema cuadrado, con igual número de ecuaciones que de incógnitas. El determinante de la matriz de los coeficientes asociada es distinto de cero.

Aplicación

Para calcular la incógnita xi del sistema de ecuaciones lineales, se sustituye la columna i de la matriz de coeficientes por los términos independientes, se obtiene el determinante de la matriz resultante y se divide este valor por el del determinante de la matriz de los coeficientes. Por tanto, la solución de un sistema de Cramer se obtiene hallando cada incógnita Xi según la fórmula

 

Método de Gauss y Gauss Jordán

El método de Gauss-Jordán utiliza operaciones con matrices para resolver sistemas de ecuaciones de n número de variables. Para aplicar este método solo hay que recordar que cada operación que se realice se aplicara a toda la fila o a toda la columna en su caso.

El método de gauss, se dice que es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales y encontrar matrices inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos.

 El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordán continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal. 

 

Preguntas

 a. ¿Cuál de los métodos es el más indicado para resolver un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas y por qué?

El método de Cramer por que proporciona la solución de sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados con una única solución mediante el cálculo los determinantes.

 b. ¿Qué ventaja tiene resolver un sistema de ecuaciones dos por dos con el método de determinantes?

La mayor ventaja de este método en que, si el determinante principal o del sistema es igual a cero, se puede dar por terminada la ecuación, ya que, según la teoría, esta no tendría solución.

 c. Enumere al menos tres métodos para calcular un determinante.

Método de Cramer

Método de Sarrus

Método de cofactores y menores