Espacios Vectoriales
Espacios vectoriales
· ¿Qué son los espacios vectoriales?
un espacio vectorial (o también llamado espacio lineal) es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo), con 8 propiedades fundamentales.
· Enumere los 8 axiomas para comprobar si un conjunto es un espacio vectorial.
Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto V no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado.
operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa:
2) tenga la propiedad asociativa:
3) Exista el elemento neutro:
4) Exista el elemento opuesto:
Y tenga la operación producto por un escalar:
Operación externa tal que:
5) Tenga la propiedad asociativa:
6) Exista el elemento neutro:
7) Tenga la propiedad distributiva respecto de la suma vectorial:
8) Tenga la propiedad distributiva respecto de la suma escalar:
· Qué es un subespacio vectorial.
Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espacio de V.
· Enumere las tres propiedades que permiten probar si un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio.
Propiedad 1
0u=0V0u=0V
Propiedad 2
α0V=0Vα0V=0V
Propiedad 3
(–α)u=–(αu)(–α)u=–(αu)
En particular, para α=1α=1 :(–1)u=–u
· Explique cuáles son la dimensión y el rango de un subespacio y que es una base.
Dimensión: Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el mismo número de vectores. Se llama dimensión de dicho espacio o subespacio.
Por tanto, la dimensión es el máximo número de vectores independientes que podemos tener en el espacio o subespacio. En otras palabras, es el máximo rango que puede tener un conjunto de vectores de dicho espacio.
Es también el rango de cualquier sistema generador de dicho espacio.
Rango: el rango de A es el número de posiciones pivote en la forma escalonada de A.
Base: Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente
links consultados:
https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial#Propiedades
https://aga.frba.utn.edu.ar/espacios-y-subespacios-vectoriales/
https://personales.unican.es/camposn/espacios_vectoriales2.pdf
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