Solución sistema ecuaciones método de Gauss-Jordan
Método
de Gauss Jordán
Para
aplicar este método solo hay que recordar que cada operación que se realice se
aplicara a toda la fila o a toda la columna en su caso.
El
procedimiento es el siguiente:
Ø Primero
se debe tener ya el sistema de ecuaciones que se quiere resolver y que puede
ser de n número de variables.
por ejemplo:
Se acomodan los
coeficientes y los resultados en una matriz:
En
el ejemplo, el -3 de la primera matriz se tiene que convertir en un 1, según la
matriz identidad, así que hay que dividir entre -3, pero como una operación se
aplica a toda la fila, entonces toda la primera fila se tiene que dividir entre
–3:
Después,
como se ve en la matriz identidad, hay que hacer 0 toda la columna debajo del
1, y se hace multiplicando por algo la fila de arriba y sumándola a la fila de
abajo.
Para
hacer cero el siguiente renglón simplemente hay que multiplicar por –1 al
primer renglón sumarlo al tercero:
Ahora
hay que hacer cero la posición a12. En este caso con hacer R2+R1 es suficiente:
Dividir
entre 2 R3 nos permite encontrar el otro 1, el de la posición a33:
Ahora
necesitamos ceros en las posiciones a13 y a23. Dividir entre ⅓ R3 y sumarlo a
R1 nos permitirá encontrar uno de ellos:
El
último cero lo logramos multiplicando por -⅓R3 y sumándolo a R2:
Al
encontrar la matriz identidad se encuentra la solución del sistema de
ecuaciones, pues esto se traduce a:
las
cuales resuelven el sistema de ecuaciones de forma simultánea. La comprobación
es la siguiente:
Como
puede verse el método Gauss-Jordán es una herramienta útil en la resolución de
este tipo de problemas y actualmente existen programas matemáticos que lo
utilizan para una gran variedad de cálculos en una gran variedad de áreas,
tanto científicas como socioeconómicas
Diferencias
Método de Gauss: se realizan
operaciones elementales hasta llegar a una matriz triangular. finaliza al
obtener un sistema equivalente en forma escalonada
Método de Gauss-Jordán: se continúa
hasta obtener la forma reducida por filas (primer elemento no nulo de cada fila
es uno y encima y debajo de éste sólo aparecen ceros). Finaliza al
obtener un sistema equivalente en forma escalonada reducida.
Ventaja
Método de Gauss-Jordán
El método consiste en convertir el sistema expresado como
matriz ampliada y trabajar para transformarlo en una la matriz identidad
quedando en el vector de términos independientes el resultado del sistema.
Su procedimiento se distingue del método
Gaussiano en que cuando se elimina una incógnita, se elimina de todas las
ecuaciones restantes, es decir, las que preceden a la ecuación pivote, así como
de las que la siguen. Por lo tanto, la eliminación gaussiana es el método
simple por excelencia en la obtención de soluciones exactas a las ecuaciones
lineales simultáneas. Una de las principales razones para incluir el método de
Gauss-Jordán, es la de proporcionar un método directo para obtener la matriz
inversa. Es importante mencionar que este método es muy adecuado para
obtener la matriz inversa de una matriz.
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